โดย Ben Turner เผยแพร่เมื่อ 03 กุมภาพันธ์ 2022 เว็บตรงแตกง่าย ปัญหาเกิดขึ้นครั้งแรกในปี 1869A standard 64 square chess board.
กระดานหมากรุกมาตรฐาน 64 ตาราง (เครดิตภาพ: โทมัส บ็อบเบอร์ซินสกี้ ผ่านเก็ตตี้ อิมเมจ)
ปัญหาหมากรุกที่สะดุดนักคณิตศาสตร์มานานกว่า 150 ปีในที่สุดก็แตก
ปัญหา n-queens เริ่มเป็นปริศนาที่ง่ายกว่ามากและถูกวางตัวครั้งแรกในฉบับปี 1848
ของหนังสือพิมพ์หมากรุกเยอรมัน Schachzeitung โดยนักแต่งเพลงหมากรุก Max Bezzel มันถามว่าราชินีคู่แข่งแปดตัวกี่วิธีซึ่งเป็นชิ้นส่วนที่ทรงพลังที่สุดบนกระดานหมากรุกและสามารถเคลื่อนย้ายสี่เหลี่ยมจํานวนเท่าใดก็ได้ในแนวนอนแนวตั้งและแนวทแยงมุมสามารถวางบนกระดาน 64 เหลี่ยมมาตรฐานได้โดยไม่ต้องมีราชินีโจมตีอีกคําตอบที่เปิดเผยเพียงสองปีต่อมาคือมีการกําหนดค่า 92 แบบที่ทําให้ราชินีทั้งแปดคนออกจากลําคอของกันและกันโดยทั้งหมดยกเว้น 12 ของการแก้ปัญหาคือการหมุนอย่างง่ายและการสะท้อนของกันและกัน แต่ในปี 1869 การทําซ้ําที่น่างวยยิ่งขึ้นของปัญหาถูกถามโดยนักคณิตศาสตร์ Franz Nauck: แทนที่จะกําหนดค่าแปดราชินีบนกระดานมาตรฐาน 8 คูณ 8 แล้ว 1,000 ควีนส์บนกระดาน 1,000 x 1,000 ล่ะ? แล้วหนึ่งล้านหรือแม้แต่พันล้านล่ะ?
ที่เกี่ยวข้อง: 9 สมการที่เปลี่ยนโลก
สิ่งที่ครั้งหนึ่งเคยเป็นปริศนาที่ค่อนข้างง่ายได้กลายเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ลึกกว่ามาก – หนึ่งที่ต้องการการค้นพบกฎทั่วไปสําหรับจํานวนวิธีที่จะวางตําแหน่งตัวเลขใด ๆ (แสดงเป็น “n”) ของราชินีบนกระดาน n-by-n ตอนนี้ ไมเคิล ซิมกิ้น นักคณิตศาสตร์ จากศูนย์วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ศาสตร์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ได้คิดคําตอบที่เกือบจะชัดเจน
บนกระดาน n-by-n ขนาดใหญ่มีประมาณ (0.143n)^n วิธีวาง n queens เพื่อให้ไม่มีใครสามารถโจมตีซึ่งกันและกันได้ นั่นหมายความว่าบนกระดานล้านต่อล้านจํานวนการกําหนดค่าที่ไม่กินที่ 1 ล้านควีนส์สามารถจัดเป็นประมาณ 1 ตามด้วย 5 ล้านศูนย์
ซิมกิ้นใช้เวลาเกือบห้าปี ในการหาการประมาณสมการที่ใกล้เคียงกันนี้ นักคณิตศาสตร์มักจะแก้ปัญหาโดยการหาวิธีที่จะแบ่งพวกเขาเป็นชิ้นที่จัดการได้มากขึ้น แต่เนื่องจากราชินีที่วางอยู่ใกล้กับศูนย์กลางของกระดานสามารถโจมตีสี่เหลี่ยมได้มากกว่าควีนส์ที่ขอบสามารถปัญหา n-queens จึงไม่สมมาตรสูงและดังนั้นจึงทนต่อความเรียบง่ายได้ดื้อรั้น
การร่วมมือกับ Zur Luria นักคณิตศาสตร์ที่สถาบันเทคโนโลยีแห่งสวิสแห่งสวิสในซูริค Simkin
เริ่มแรกทําให้งานง่ายขึ้นโดยพิจารณาจากปัญหา “toroidal” ที่สมมาตรมากขึ้นซึ่งสี่เหลี่ยมขอบล้อมรอบกระดานเพื่อสร้างรูปโดนัท การจัดเรียงนี้ช่วยให้ราชินีหายไปที่ด้านบนซ้ายและปรากฏขึ้นอีกครั้งที่ด้านล่างขวาเป็นต้น นอกจากนี้ยังหมายความว่าไม่ว่าพวกเขาจะวางไว้ที่ไหนราชินีแต่ละตัวสามารถโจมตีสี่เหลี่ยมจํานวนเท่ากันกับคู่ของมันโดยใช้กระดาน toroidal เป็นการประมาณครั้งแรกนักคณิตศาสตร์สองคนใช้กลยุทธ์ที่เรียกว่า “อัลกอริทึมโลภแบบสุ่ม” กับปัญหา พวกเขาวางราชินีแบบสุ่มปิดกั้นช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่โจมตี จากนั้นราชินีคนต่อไปจะถูกเลือกให้นั่งบนจุดที่เหลือโดยมีช่องโจมตีถูกปิดกั้นในทางกลับกัน ทั้งคู่ยังคงทําเช่นนี้ในการกําหนดค่าหลายอย่างจนกว่าพวกเขาจะพบขอบเขตล่างที่คร่าวๆหรือจํานวนต่ําสุดที่เป็นไปได้ – ในจํานวนการกําหนดค่าของ n queens บนกระดาน toroidal
แต่การประมาณการของพวกเขาอยู่ไกลจากความสมบูรณ์แบบ ลักษณะการห่อหุ้มของคณะกรรมการป้องกันไม่ให้พวกเขาค้นหาตําแหน่งราชินีไม่กี่ตําแหน่งสุดท้ายในการกําหนดค่าบางอย่าง หลังจากทิ้งปัญหาไปสองสามปีคู่หูก็กลับมาพร้อมกับแนวคิดในการปรับอัลกอริทึมของพวกเขาให้เข้ากับบอร์ดปกติซึ่งให้จุดซ่อนตัวสําหรับราชินีสุดท้ายมากกว่ากระดาน toroidal โดยการปรับอัลกอริธึมโลภแบบสุ่มให้เข้ากับบอร์ดมาตรฐานที่ไม่ใช่ toroidal ทั้งคู่ค่อนข้างปรับปรุงความแม่นยําของการประมาณการที่มีขอบเขตต่ํากว่านี้แต่คําตอบของพวกเขาไม่ได้ชัดเจนอย่างที่พวกเขาหวัง – อัลกอริทึมโลภแบบสุ่มทํางานได้ดีที่สุดในปัญหาสมมาตรซึ่งจัตุรัสกระดานทุกแห่งให้ประโยชน์ในการโจมตีเช่นเดียวกับที่อื่น ๆ นี่ไม่ใช่กรณีของบอร์ดมาตรฐานที่ช่องสี่เหลี่ยมขอบมีความสามารถในการโจมตีน้อยกว่าสี่เหลี่ยมตรงกลาง
เพื่อแก้ปัญหานี้ Simkin ตระหนักว่าเขาจะต้องปรับอัลกอริทึม เนื่องจากการกําหนดค่าที่ทํางานได้ส่วนใหญ่บนกระดานมาตรฐานมีราชินีมากกว่าที่ขอบของกระดานซึ่งพวกเขาโจมตีสี่เหลี่ยมน้อยกว่าตรงกลาง Simkin จึงปรับแต่งอัลกอริทึมความโลภแบบสุ่มโดยการถ่วงน้ําหนักสี่เหลี่ยม แทนที่จะเป็นอัลกอริทึมของเขาที่กําหนดราชินีแบบสุ่มมันวางควีนส์ไว้ในจุดที่จะแตกแขนงออกไปเป็นจํานวนการกําหนดค่าที่เป็นไปได้สูงสุด สิ่งนี้ทําให้ Simkin มุ่งเน้นไปที่จํานวนราชินีที่จะครอบครองแต่ละส่วนของบอร์ดและค้นหาสูตรสําหรับการกําหนดค่าจํานวนที่ถูกต้องซึ่งจะช่วยเพิ่มความแม่นยําของการคาดเดาที่ต่ํากว่าได้มากยิ่งขึ้น เว็บตรงแตกง่าย
